Neka je na poluintervalu
definisana metrika sa
. U ovoj metrici je skup
kompaktan. funkcija
je neprekidna u toj metrici domena akko je neprekidna u standardnoj metrici domena i pritom je
, pa ovakve funkcije možemo poistovetiti sa
-periodičnim funkcijama koje slikaju skup realnih brojeva u njega samog.
Furijeovi koeficijenti lokalno integrabilne
-periodične funkcije
se definišu na sledeći način:
,
,
,
,
gde se Furijeov red funkcije
definisan kao
.
Parcijalna suma ovog reda je
.
Očigledno je
,
gde je
Dirihleovo jezgro definisano sa
Očigledno je
.
Fejerovo jezgro se definiše kao
.
Na sličan način kao malopre se dobija da je
.
Fejerov operator se definiše kao operator koji lokalno integrabilnoj
-periodičnoj funkciji
pridružuje funkciju
.
Dokažimo da za neprekidnu
-periodičnu funkciju
niz
uniformno konvergira ka
.
Zahvaljujući pozitivitetu Fejerovog jezgra, Fejerov operator je pozitivan, tako da je dovoljno proveriti ovaj stav u slučaju kada
jer skup
obuhvata funkcije oblika
.
Znajući da je
za
, odnosno da je za
ispunjeno
i
za
, dobijamo da je za
ispunjeno
za
.
Time je tvrđenje dokazano.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.