Prošli put su se potkrale neke greške, pa hajde da ih ispravim.
Neka je
skup tačaka u
koji ima osobinu da je presek bilo koje ravni i skupa
prazan skup, tačka, prava, unija dve paralelne prave, unija dve prave koje se seku, elipsa, parabola ili hiperbola. Dokažimo da postoje konstante A,B,C,D,E,F,G,H,I,J da za ma koje realne brojeve x,y,z važi
Pretpostavimo najpre da svaka ravan u preseku sa skupom
daje prazan skup, tačku ili pravu. Tada su sve tačke skupa
kolinearne, pa ako uočimo ravan na kojoj leži prava kojoj pripadaju sve tačke skupa
, presek skupa
sa tom ravni će biti skup
, pa je
ili prazan skup ili tačka ili prava. U sva tri slučaja skup
ima jednačinu traženog oblika. Prazan skup ima jednačinu
, tačka
jednačinu
, a prava
jednačinu
.
Pretpostavimo zato da postoji ravan koja u preseku sa skupom
ne daje niti prazan skup, niti tačku, niti pravu. Budući da svaka od preostalih figura ima tačno dve zajedničke tačke sa barem jednom pravom, postoje različite tačke
i
skupa
sa osobinom da na pravoj
nema drugih tačaka skupa
. Izaberimo Dekartov pravougli koordinatni sistem sa koordinatnim početkom u tački
kome je
-osa prava
. Dakle, koordinate tih tačaka su
i
za neko
. Ukoliko dokažemo da u tom Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu skup
ima jednačinu tog oblika, onda je on ima i u svakom drugom.
Sa
označimo skup svih parova realnih brojeva
, takvih da tačka
pripada skupu
za tačno dve realne vrednosti
. Neka par
pripada skupu
. Presek skupa
i ravni
ne može biti u prazan skup, tačka ili prava, pa mora biti unija dve prave koje se seku ili unija dve paralelne prave ili elipsa ili parabola ili hiperbola. Prava
ima sa tim presekom tačno dve zajedničke tačke. Stoga postoji otvoreni interval
takav da
i da za ma koje
prava
ima sa tim skupom tačno dve zajedničke tačke. No, to upravo znači da par
za svako
, tj. da je
. Na sasvim sličan način se dokazuje da postoji otvoren interval
takav da
i da je
.
Neka je
skup svih realnih brojeva
takvih da postoji realan broj
tako da par
pripada skupu
. Prema prethodnim razmatranjima skup
je otvoren, tj. oko svake njegove tačke možemo opisati okolinu koja je cela u tom skupu. Naime, za ma koje
postoji takvo
takvo da
, pri čemu za otvoren interval
takav da
i
važi
. Pritom,
i
zbog načina na koji smo izabrali tačke
i
i Dekartov pravougli koordinatni sistem.
Neka
. Presek skupa
i ravni
ima jednačinu oblika
pri čemu koeficijenti zavise od
. Ako je
, onda ne postoji
takvo da
, što je u suprotnosti sa
. Stoga je
, pa delenjem jednačine sa
dobijamo ekvivalentnu jednačinu istog oblika u kome je koeficijent uz
jednak jedinici. Stoga presek skupa
i ravni
ima jednačinu
za neke funkcije
definisane na skupu
.
Neka
. Izaberimo različite realne brojeve
takve da parovi
pripadaju skupu
. Postoje otvoreni intervali
kojima pripada
takvi da za svako
iz
par
pripada skupu
. Neka je
presek tih intervala.
je otvoren interval kome pripada
i takav da za svako
važi
, a samim tim i
. Dakle,
.
Posmatrajmo presek skupa
sa ravni
. Za svako
iz intervala
postoje tačno dve vrednosti za
takve da
, pa jednačina preseka ima oblik
No, budući da ova jednačina po
ima ista rešenja kao jednačina
na osnovu Vijetovih formula zaključujemo da važi
Odatle dobijamo matrične jednačine
koje važe za sve
. No, determinante tih sistema su različite od nule (Vandermondove su) i konstantne. Recimo, determinanta drugog sistema je jednaka
. Odatle i iz Kramerovog pravila sledi da su funkcije
i
linearne, a funkcije
,
i
najviše kvadratne. Naravno, sve to važi na intervalu
. Odatle sledi da skup
u pojasu
ima jednačinu oblika
No, za svako
ravan
seče skup
po uniji dve paralelne prave ili uniji dve prave koje se seku ili po elipsi ili po paraboli ili po hiperboli jer preseku pripadaju tačke
i
pri čemu preseku ne pripada ni jedna druga tačka prave
. Stoga jednačina preseka u našem pojasu glasi
Ali takav presek ima jednačinu oblika
Te jednačine za svako
imaju tačno dva rešenja po
za sve
iz nekog otvorenog intervala
kome pripada nula. Pritom, možemo pretpostaviti da je
za svako
. Pošto za svako
i za sve
ta jednačina po
imatju ista rešenja, iz Vijetovih formula zaključujemo da za svako
i svako
važi
No, kako za svako
interval
sadrži beskonačno mnogo tačaka, odatle sledi da za svako
važi
Birajući dve različite vrednosti za
ali i različite od nule, slično kao i ranije zaključujemo da važi
Odatle, i na osnovu odgovarajuće jednačine u pojasu
dobijamo da skup
ima jednačinu traženog oblika u tom pojasu. Neka je
skup tačaka određen istom tom jednačinom drugog reda, ali u celom prostoru. Dokažimo da je
. Neka je
proizvoljna tačka i
ravan kojoj pripadaju tačke
,
i
. Budući da se skupovi
i
poklapaju u pojasu
, presek te ravni sa skupom
će biti u tom pojasu isti kao i sa skupom
. Setimo se da tačke
i
pripadaju tom preseku, ali da mu ne pripada niti jedna druga tačka prave
. Budući da znamo da je taj presek unija dve paralelne prave ili unija dve prave koje se seku ili elipsa ili parabola ili hiperbola i budući da je takva figura u potpunosti određena svojom slikom u bilo kojoj okolini takvih svojih dveju tačaka, presek te ravni sa skupovima
i
je isti, pa tačka
ili pripada i jednom i drugom ili nijednom od njih. Budući da je tačka
potpuno proizvoljna, skupovi
i
su jednaki, čime je tvrđenje u potpunosti dokazano.
Edit: Ispravka greške.
[Ovu poruku je menjao Nedeljko dana 12.12.2012. u 22:32 GMT+1]
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.