Pretpostavljas da mislis na kvantni Hamiltonijan. U tom slucaju treba ti operator p^2 odnosno
tj sam
u tvom omiljenom koordinatnom sistemu.
Tu puuuuno pomaze ako razmislis o tome sta
u stvari geometrijski predstavlja.
Pa, geometrijski gledano, to je divergencija gradijenta. A divergencija je definisana cinjenicom da za svaku zapreminu V i vektorsko polje v u toj zapremini,
Ovo pak mozes da iskazes u raznim koordinatnim sistemima za elementarnu zapreminu dV u tom sistemu i na taj nacin sracunas divergenciju.
Ovde cu da predlozim jednu alternativu ovom postupku. Ono sto ti u kvantnoj u stvari treba su matricni elementi
.
Ako su talasne funkcije
i
normalizovane, onda teze nuli u beskonacnosti. Stoga:
gde
.
E, sad, u tvom omiljenom koordinatnom sistemu,
gde je
metricki tenzor u tom koordinatnom sistemu. Ako koordinate odaberes na iole razuman nacin, g ce biti dijagonalna matrica. Npr, u sfericnim kordinatama,
E, sad, istim postupkom kao gore, ali u tvom koordinatnom sistemu, prebacis vratis sve izvode
na izvode
. Npr., zapreminski integral drugug gorenavedenog clana transformises kao
gde, posto
,
i gornji integral mozes da napises kao
Slicnim postupkom iz treceg clana dobijes:
a iz prvog
Poredjenjem ovog rezultata sa ocekivanim
, u sfericnim koordinatama imas