Ako je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/3f354196800df87729d287b73f34676c.png)
, onda važi:
Skup tačaka nagomilavanja niza
![](https://static.elitesecurity.org/tex/c9364b6e65ace0ee4010a9e5bb5eb4f3.png)
je jednak
![](https://static.elitesecurity.org/tex/c7ea75ef1f69a8854afe1f5606550a24.png)
akko je c iracionalan broj.
Neka je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/7f65b24dce0b3dc512480c1d23ac36e1.png)
,
![](https://static.elitesecurity.org/tex/2c565888980f67362e3bcb1d34a8bb5b.png)
,
![](https://static.elitesecurity.org/tex/8cc711a8912f48d78bb035c2b0d42784.png)
. Tada je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/87aa22cbec9d48a669e9421beb59f18e.png)
, pa pošto je taj skup konačan, skup tačaka nagomilavanja ne može biti
![](https://static.elitesecurity.org/tex/c7ea75ef1f69a8854afe1f5606550a24.png)
.
Neka je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/55086b9391810b8acd0c4632d26a960f.png)
. Tada je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/019938dbcd54a959034f4c7a3c0322d1.png)
za
![](https://static.elitesecurity.org/tex/82dbad71de3ccf64ae82191859acb60a.png)
. Zaista, ako je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/e21985fc2650b0062fb16ac460c09b8b.png)
za
![](https://static.elitesecurity.org/tex/82dbad71de3ccf64ae82191859acb60a.png)
, onda je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/a70d661fb618f8d15458b0982b8394c3.png)
, pa je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/742d580f50aa4ac5280ac0f1ae6c0285.png)
suprotno iracionalnosti broja
![](https://static.elitesecurity.org/tex/cb9f063f28f58b62abcd79719ae08f40.png)
. Jasno je da zbog
![](https://static.elitesecurity.org/tex/97da388fc1a0fef382d2da61b6daf28b.png)
ovaj niz ima bar jednu tačku nagomilavanja
![](https://static.elitesecurity.org/tex/1556f926d88b2c11713a862ae55e6e4c.png)
.
Neka je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/a4721e4c19ec5454b7cdd9b0a1794f13.png)
. Tada mogu naći različite
![](https://static.elitesecurity.org/tex/4c38ea32d3cf0fa9a48904bf26f970e4.png)
takve da je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/4c82b941d6a928be729fe1000bdfaefd.png)
, pa je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/b6ec69d7423db03afda25c48b93358d5.png)
. Određenosti radi, možemo pretpostaviti da je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/9e35c5920af4a05b70fef976f7306707.png)
. Zbog
za
![](https://static.elitesecurity.org/tex/ec69cbdccffefb234ee5a6c2a4aa768f.png)
važi
![](https://static.elitesecurity.org/tex/f3ea65dcbd8e864b565a5384813ac3e7.png)
a u suprotnom
![](https://static.elitesecurity.org/tex/c9a6dc8d54aaff671c0c5168aaf87f53.png)
. Stoga je bar jedna od tačaka
![](https://static.elitesecurity.org/tex/195a69e6c8adc2e019baafcde73d03e1.png)
tačka nagomilavanja niza
![](https://static.elitesecurity.org/tex/0b184c31ac0dd762f37d54433a66b9b9.png)
.
Ako je jedinica tačka nagomilavanja, onda se za bilo koje
![](https://static.elitesecurity.org/tex/5070fb29713fbb3eb3a947ecf9705678.png)
može naći
![](https://static.elitesecurity.org/tex/9e35c5920af4a05b70fef976f7306707.png)
takvo da je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/ec69cbdccffefb234ee5a6c2a4aa768f.png)
. No, onda je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/f3ea65dcbd8e864b565a5384813ac3e7.png)
, pa je i nula tačka nagomilavanja. Dakle, nula je tačka nagomilavanja u svakom slučaju.
Drugi način da se dokaže da je nula tačka nagomilavanja je sledeći:
Neka je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/5070fb29713fbb3eb3a947ecf9705678.png)
proizvoljno i neka je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/18941089b86f1608ce4eb26ad3d3919e.png)
najmanji prirodan broj za koji je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/a66ce9447c074be89bd82804cf7dca07.png)
. Takav broj postoji (i veći je od 1) zato što je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/3e8c604cd130cede8492e7b952886896.png)
budući da je broj
![](https://static.elitesecurity.org/tex/cb9f063f28f58b62abcd79719ae08f40.png)
iracionalan. Obzirom da je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/a7c4b858d53efc60864c0884532775d4.png)
, važi
![](https://static.elitesecurity.org/tex/3834c6d6d8912b3e2d21861859e7ab11.png)
. Ako bi bilo
![](https://static.elitesecurity.org/tex/b8e7a9a4ee448c944ab03a03a40b8cc5.png)
, onda bi bilo
![](https://static.elitesecurity.org/tex/b70b6c4b8fb3a6e81d696dabbb1fc8e2.png)
suprotno izboru broja
![](https://static.elitesecurity.org/tex/18941089b86f1608ce4eb26ad3d3919e.png)
. Dakle,
![](https://static.elitesecurity.org/tex/fd439b3cb0d903b98b15d8f8b14700f1.png)
. Neka je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/746ec994f4fc77eb6a22498aa403203a.png)
ako je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/92ac84b98555aaf8e3bf9078d9542c43.png)
, odnosno
![](https://static.elitesecurity.org/tex/ecf70ddc210586a36faf0ad50b2603de.png)
u suprotnom. Tada je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/eb603b055204f82c8b6952e73d2f12ae.png)
takav da je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/8c9a65f91af26e471046272065d66fec.png)
, pa je nula zaista tačka nagomilavanja.
Dokažimo sada samo tvrđenje.
Neka je sada
![](https://static.elitesecurity.org/tex/7ec8697df5b730e07c7301b90cd5c683.png)
i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/bd7a8e482d52a7902009d3b9498df856.png)
takvo da je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/205d8df6d19caae2e9896fd8c378d818.png)
. Izaberimo takvo
![](https://static.elitesecurity.org/tex/5070fb29713fbb3eb3a947ecf9705678.png)
da važi
![](https://static.elitesecurity.org/tex/068948f564d44109af22fa8ea6de1676.png)
i neka je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/18941089b86f1608ce4eb26ad3d3919e.png)
najmanji prirodan broj za koji je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/bb0feedd06605fc7cb459cf25b8f15de.png)
. Tada mora biti
![](https://static.elitesecurity.org/tex/6f3ec50c2f4ff8b0aad79a20d970966b.png)
i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/375f26b59ae3badeea32abbd21d8101a.png)
. Zaista, u suprotnom bi bilo
![](https://static.elitesecurity.org/tex/f354a0e29bd4bf8adfef3529cc05727e.png)
, odakle bi sledilo da je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/1e78ae286c20586606eb598c44401fa2.png)
suprotno izboru broja
![](https://static.elitesecurity.org/tex/18941089b86f1608ce4eb26ad3d3919e.png)
. No, tada za
![](https://static.elitesecurity.org/tex/746ec994f4fc77eb6a22498aa403203a.png)
važi
![](https://static.elitesecurity.org/tex/a0ee4af3487ac4ff03324ada04dc59ef.png)
.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.