,
gde je ma koji prirodan broj koji nije potpun kvadrat. Ukoliko se na desnoj strani jednačije nalazi broj različit od 1, onda se takva jednačina naziva jednačinom Pelovog tipa, i o njoj nešto više reči kasnije.
Ono što je bitno napomenuti je da svaka Pelova jednačina ima beskonačno mnogo rešenja. Ukoliko pronađemo jedno od njih preostala možemo generisati rekurentnim relacijama:
Tu je i gotova formula:
Međutim, problem koji se pojavljuje je taj što je ponekad (zapravo, skoro uvek) vrlo teško pronaći i jedno rešenje date jednačine. Na sreću, postoji metod koji se može koristiti, i on ne samo što pronalazi jedno rešenje date jednačine već je to rešenje minimalno, tako da se gore opisanim formulama mogu generisati sva moguća rešenja. Evo kako izgleda taj metod:
Cilj nam je da nađemo continued fraction (nisam siguran za prevod ovog izraza), čija je vrednost jednaka . Kada to uspemo jednačina je praktično rešena. Postupamo na sledeći način:
Neka je
Sada imamo
Primenimo istu proceduru na i imamo
Sada je , pa sledi da je
Nastavljamo da na ovaj način računamo elemente niza. U jednom momentu dobićemo ovako nešto:
. Tad treba stati. Ako je neparan broj onda je minimalno rešenje jednačine par uzajamno prostih brojeva takvih da je
.
Za parno važi
Evo i primera kako to izgleda:
Neka je potrebno rešiti jednačinu . Postupamo po datom uputstvu:
Zaključujemo (na osnovu gore navedenog) da ovde treba stati. Pošto je poslednji izračunat element sa neparnim koeficijentom, najmanje rešenje jednačine je sledeće:
, odnosno , .
Evo i jednog drugačijeg primera, shvatićete na kraju (ako izdržite dotle :)) zašto je drugačiji:
Neka je data jednačina . Računamo elemente niza kao i u prethodnom slučaju:
Dakle, ovde treba stati. Razlika u odnosu na prethodni primer je što je ovog slučaja poslednji izračunat član niza sa parnim koeficijentom (). Znači, najmanje rešenje se traži nešto drugačije:
odnosno , (mora se priznati, rešenje koje bi se vrlo teško našlo nekom drugom metodom).
Sva preostala rešenja ovih dveju jednačina dobijamo opisanim relacijama.
[Ovu poruku je menjao Bojan Basic dana 15.01.2007. u 15:18 GMT+1]